Задачи для самостоятельного решения

                                           I уровень

1.     В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны , а боковое ребро - , М - центр грани СС1В1В. Найдите угол между прямой АМ и плоскостью  основания.

2.    В правильной четырехугольной призме стороны основания равны 4 см. Через диагональ основания под углом 45° к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найдите площадь сечения.

3. В правильной четырехугольной призме АВСDА1В1С1D1  сторона основания равна 1, а боковое ребро -  , К - центр грани АА1В1В. Найдите угол между прямой КС и плоскостью основания.

4.  В правильной треугольной призме через среднюю линию основания под углом 60° к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найдите плоскость сечения, если сторона основания равна 4 см.

5.  В основании прямой призмы АВСА1В1С1  лежит прямоугольный треугольник АСВ                            (С=90°), АС=4 , ВС=3. Через сторону АС и вершину В1 проведена плоскость, В1АС=60°.  Найдите площадь боковой поверхности призмы.

6. В основании прямой призмы АВСА1В1С1  лежит прямоугольный треугольник АСВ                             (С=90°). Через сторону ВС и вершину А1 проведена плоскость, ВА1С=30°, А1В=10, АС=5. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

7. В наклонной треугольной призме АВСА1В1С1 основанием служит прямоугольный треугольник АСВ  (С=90°). Плоскость грани АА1С1С перпендикулярна к плоскости основания. Докажите, что СС1В1В - прямоугольник.

8.  В наклонной треугольной призме площади двух граней равны 70 см² и 105 см², угол между ними 60°, боковое ребро равно 10 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

9.   Основанием наклонного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 служит прямоугольник АВСD. Грань АА1D1D  перпендикулярна к плоскости основания. Докажите, что DD1 С1С - прямоугольник.

10. В наклонной треугольной призме площади двух граней равны 15 см² и 25 см². Угол между ними 120°. Длина бокового ребра равна 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

                                                                II уровень

1.   В правильной треугольной призме АВСА1В1С1  сторона основания равна 4 см. Через середину А1С1  и сторону основания ВС проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если длина бокового ребра равна 2 см.

2.  В прямом параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 основанием служит ромб со стороной, равной а, ВАD=60°. Через сторону АD и вершину В1  проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45°. Найдите длину бокового ребра и площадь сечения.

3.  В правильной четырехугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона основания равна а, а боковое ребро - . Через диагональ основания ВD и  середину D1С1 проведена плоскость. Найдите площадь сечения.

4. В прямом параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 основанием служит ромб со стороной, равной т, АDС=135°. Через сторону DС и вершину А1 проведена плоскость под углом 60° к плоскости основания. Найдите длину бокового ребра и площадь сечения.

5.  В прямом параллелепипеде АВСDА1В1С1С АВ=1, ВС=. АВС=150°. Через диагональ АС и вершину В1  проведена плоскость,  составляющая с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

6.   В прямом параллелепипеде АВСDА1В1С1D1  ВС=7, СD=15, ВСD=60°. Через диагональ ВD и вершину С1  проведена плоскость под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности .

7.   Основанием наклонной  призмы АВСА1В1С1 служит правильный треугольник со стороной а. Длина бокового ребра равна б, А1АС=А1АВ. Найдите площадь грани СС1В1В.

8. В наклонном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 боковое ребро равно 10, а площадь боковой поверхности - 420. Расстояние между ребрами АА1 и DD1   на 11 больше расстояния между ребрами  АА1 и ВВ1. Расстояние между ребрами ВВ1 и DD1 равно 19. Найдите углы между смежными боковыми гранями.

9.В наклонном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 основанием служит квадрат АВСD со стороной, равной а, АА1=б, А1АD=А1АВ. Найдите площадь диагонального сечения ВВ1D1D.

10.В наклонном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 боковое ребро равно 10, а площадь боковой поверхности - 880. Расстояния от ребра DD1 до ребер СС1   и  АА1  относятся, как 7:15. Расстояние между ребрами  АА1 и СС1 равно 26. Найдите углы между смежными боковыми гранями параллелепипеда.

                                            III уровень

1.    В правильной треугольной призме АВСА1В1С1  все ребра равны . Через сторону основания под углом 60° к его плоскости проведена плоскость. Найдите площадь сечения.

2. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы равна Q. Найдите площадь сечения, перпендикулярного к меньшей диагонали основания и делящего эту диагональ пополам.

3.  В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 8 см, а боковое ребро - см. Через диагональ основания под углом 45° к его плоскости проведено сечение. Найдите его площадь.

4.   Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы равна Q. Найдите площадь сечения, которое  перпендикулярно к большей диагонали основания и делит эту диагональ пополам.

5.  В прямой призме АВСА1В1С1  АВ=13, ВС=21, АС=20. Диагональ боковой грани А1С составляет с плоскостью грани СС1В1В  угол 30°. Найдите площадь полной поверхности призмы.

6. В прямом параллелепипеде   АВСDА1В1С1D1   АD=17, DС=28, АС=39. Диагональ боковой грани А1D составляет с плоскостью боковой грани DD1С1С  угол 30°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

7.   В наклонной треугольной призме АВСА1В1С1   все ребра равны между собой. Ребро АА1 составляет с плоскостью основания угол  60°, А1АС=А1АВ<90°. Площадь грани  СС1В1В  равна Q . Найдите площадь боковой поверхности призмы.

8.  В наклонном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 расстояние от ребра АА1 до ребра DD1   равно 10, а от   АА1 до ВВ1  - 17 . Площадь диагонального сечения ВВ1D1D равна 210. Расстояние между ребром АА1 и диагональю В1D равно 8. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

9.  В наклонном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 основанием служит квадрат АВСD. Все ребра параллелепипеда равны между собой. Боковое ребро АА1 составляет с плоскостью основания угол  60°, А1АD=А1АВ<90°. Площадь диагонального сечения ВВ1D1D равна Q. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

10. В наклонной треугольной призме АВСА1В1С1  двугранные углы с ребрами СС1 и ВВ1 соответственно равны 45° и 30°. Расстояние от ребра АА1 до диагонали В1С грани СС1В1В равно 1. Площадь грани  СС1В1В равна . Найдите площадь боковой поверхности призмы.

                                                          Ответы